Penggunaan Turunan
Turunan dapat diaplikasan ke dalam berbagai masalah
dalam kehidupan sehari-hari, salah satunya adalah dengan cara memaksimumkan dan
meminimmumkan suatu fungsi, misalnya ketika seorang pedagang yang ingin
mendapatkan keuntungan besar, yaitu dengan menghitung kombinasi antara besar
keuntungan dengan biaya pembelian dan penjualan. Selain itu, penggunaan turunan
juga dapat diaplikasikan untuk mengetahui biaya produksi sekecil-kecilnya
(minimum).
Berikut ini sedikit penjelasan mengenai Penggunaan Turunan yang
telah dibagi-bagi ke dalam beberapa sub-bab, disertai contoh-contoh aplikasi
soal.
·
Maksimum dan Minimum
Seperti yang telah dijelaskan
diatas, salah satu penggunaan turunan yang sering dipakai adalah mengenai
Maksimum dan Minimum. Untuk memahami masalah maksimum dan minimum, berikut ini
adalah definisi atau batasan-batasan mengenai Maksimum dan Minimum.
Definisi Maksimum dan Minimum
Jika S, adalah daerah asal f, dan
memuat titik c . Kita katakan bahwa :
- f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x)untuk semua x di S;
- f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c)≤ f(x)untuk semua x di S;
- f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum
Akan tetapi dalam prakteknya, terdapat beberapa masalah yang tidak dapat
terpecahkan dengan definisi tersebut, diantaranya adalah apabila suatu fungsi
ternyata tidak memiliki nilai maksimum atau minimum pada daerah asal tertentu.
Seperti pada fungsi tak kontinu.
Oleh sebab itu, digunakan teorema berikut ini untuk menyelesaikan masalah
tersebut.
Teorema A
(Teorema
Eksistensi Maks-Min). Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f
mencapai nilai maksimum dan minimum.
Jadi, nilai maksimum dan minimum
akan ditemukan pada fungsi f yang kontinu dan daerah asal f harus
berupa selang tertutup.
Dalam teori maksimum dan minimum,
terdapat titik-titik kunci atau yang biasa disebut sebagai titik kritis.
Titik-titik tersebut tentunya sebarang titik dalam daerah asal suatu fungsi f,
yaitu:
·
Titik-titik ujung, yaitu suatu titik yang merupakan
batas-batas ujung kiri dan kanan selang tertutup. Beberapa selang memuat
titik-titik ujung, namun beberapa tidak memuat titik ujung satupun. (Gb.1)
·
Titik stasioner, yaitu suatu titik c dalam
suatu selang dimana f’(c) = 0. Nilai-nilai ekstrim seringkali
terjadi pada titik-tik stasioner. (Gb.2)
·
Titil singular, yaitu suatu titik c dalam suatu
selang dimana f’ tidak ada. Titik singular merupakan titik dimana grafik
f mempunyai sudut tajam, garis singgung vertical, atau mungkin berupa
lompatan. (Gb.3)
Teorema B
(Teorema
Titik Kritis). Jika f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c, dan jika
f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yaitu c harus
berupa salah satu dari:
(i) Titik
ujung dari f
(ii)Titik
stasioner dari f(f’(c)=0)
(iii)Titik
singular dari f(f’(c)=tidak ada)
Contoh Soal:
Sebuah SMA di cilegon berencana
membangun sebuah pagar yang mengelilingi sekolah tersebut. Pada bagian pojok
sekolah tersebut, terdapat tembok siku-siku sepanjang 20 meter dan lebar 10
meter yang tidak perlu dipagari. Jika sekolah tersebut hanya mempunyai 40 meter
pagar, tentukan luas maksimum yang dapat dipagari. Dan dengan pagar sepanjang
40 meter tersebut, berapakah luas minimum kebun yang dapat dipagari?
Jawab:
Misal: Ukuran kebun adalah x x
y seperti diperlihatkan pada gambar, maka panjang pagarnya adalah:
x+ y + ( x
-10) + ( y – 20) meter.
Karena sekolah hanya mempunyai 40
meter pagar, maka
x+ y + ( x
-10) + ( y – 20) = 40
x + y = 35
atau y = 35 – x
Ukuran
terkecil dari x yang diperbolehkan adalah 10 meter, sehingga x ≥ 10
Ukuran
terkecil dari y yang diperbolehkan adalah 20 meter, sehingga y ≥ 20.
35 – x ≥ 20
x ≥ 15
maka 10 ≤ x ≤ 15
Luas sekolah
L = xy,
=>L (x) =
x (35 – x), 10 ≤ x ≤ 15
L’ (x) =35 –
2x, 10 ≤ x ≤ 15
Titik Ujung [10,15]
Titik Stasioner L’(x) = 0
35 – 2x =0
2x = 35
x =35/2
(Tidak memenuhi syarat 10 ≤ x ≤ 15)
Pengujian :
L(10) = 10
(35 – 10) = 250 m2
L(15) =
15(35 – 15) = 300 m2
Maka luas sekolah maksimum yang
dapat dipagari adalah 300 m2 , dan luas minimum yang dapat dipagari
adalah 250 m2.
·
Kemonotonan dan Kecekungan
Pada bagian ini penggunaan turunan
akan di titikberatkan untuk mengetahui sifat-sifat yang dimiliki suatu kurva
antara lain kemonotonan, kecekungan, nilai ekstrim , titik belok dan asymtot.
Hal ini ditekankan agar kita mudah dalam menganalisa dan menggambarkan grafik
fungsi.
Definisi
Fungsi Monoton
Grafik fungsi f(x) dikatakan naik
pada selang I bila f (x1) > f (x2) untuk
x1> x2 ; x1, x2 ÎI .
Sedangkan f(x) dikatakan turun pada
selang I bila
f (x1) < f (x2) untuk x1> x2 ; x1, x2 ÎI .
Fungsi naik atau turun disebut fungsi
monoton.
Dalam menentukan selang fungsi
monoton naik atau turun digunakan
pengertian berikut. Gradien dari
suatu garis didefinisikan sebagai tangen sudut ( a )
yang dibentuk oleh garis tersebut
dengan sumbu X positif, m = tan a . Bila sudut
lancip (a < ½ p ) maka m
> 0 dan m < 0 untuk a > ½ p. Karena
gradien garis
singgung suatu kurva y = f(x) di
titik ( x,y ) diberikan dengan m = f ‘ ( x ) dan selang
fungsi naik atau turun
berturut-turut ditentukan dari nilai gradiennya, maka selang
atau selang dimana fungsi monoton
diberikan berikut :
1. Fungsi f(x) naik bila f ‘
(x)> 0
2. Fungsi f(x) turun bila f ‘
(x)< 0
Definisi
Kecekungan Fungsi
Fungsi f(x) dikatakan cekung ke
atas pada selang I bila f ‘ (x)naik pada
selang I, sedang f(x) dikatakan cekung
ke bawah bila f ‘ (x) turun pada selang I.
Oleh karena itu dapat disimpulkan :
1. Bila f “(x) > 0 , x ÎI maka f(x) cekung ke atas pada I dan
2. Bila f “(x) < 0 , x ÎI maka f(x) cekung ke bawah pada I.
Contoh Soal:
Tentukan selang fungsi naik dan
fungsi turun dari fungsi f (x) = x4 + 2x3 + x2 - 5
Jawab :
Turunan pertama, f ‘(x)
= 4x3 + 6x2 + 2x .
Untuk f ‘(x) = 4x3 + 6x2 + 2x > 0 , maka fungsi naik pada –1 < x < – ½ atau x > 0
dan fungsi turun pada x < -1 atau
– ½ < x < 0.
Secara geometris, grafik fungsi y =
f(x) cekung ke bawah di suatu titik bila kurva
terletak di bawah garis singgung
kurva di titik tersebut. Sedangkan garfik fungsi y = f
( x ) cekung ke atas di suatu titik
bila kurva terletak di atas garis singgung yang
melalui titik tersebut.
·
Maksimum dan Minimum Lokal
Definisi
Andaikan S, daerah asal f, memuat
titik c. Kita katakan bahwa:
(i) f(c)
nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a, b) yang memuat c sedemikian
sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a, b) ∩ S;
(ii) f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a, b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a, b) ∩ S;
(iii) f(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal.
(ii) f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a, b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a, b) ∩ S;
(iii) f(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal.
Teorema A
(Uji Turunan
Pertama) Andaikan f kontinu pada selang buka (a,b) yang memuat titik kritis
c.
·
Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan
f’(x) <>f (c) adalah nilai maksimum lokal f.
·
Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b)
maka f (c) adalah nilai minimum lokal f.
·
Jika f”(x) bertanda sama pada kedua pihak c
maka f (c) bukan nilai ekstrim lokal f.
Teorema B
(Uji Turunan
Kedua) Andaikan f’ dan f” ada pada setiap titik selang buka (a,b)
yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0
·
Jika f” (c) < f (c) adalah nilai maksimum
lokal f.
·
Jika f” (c) > 0, f (c) adalah nilai
minimum lokal f.
Contoh Soal:
Carilah
nilai ekstrim lokal dari fungsi f (x) = x3– 12x – 5 pada (-∞,∞) !
Jawab:
f”(x)=3x2–
12 = 3(x2 – 4)
3(x – 2) (x
+ 2)
Titik
Kritis: 2 dan -2
Pengujian
terhadap titik -3, 0, dan 3
(x – 2) (x +
2) > 0 pada (-∞,-2) dan (2, ∞)
(x – 2) (x +
2) < 0 pada (-2, 2)
Menurut uji
turunan, dapat disimpulkan bahwa f(-2) = 11 adalah nilai maksimum lokal dan
f(2) = -21 adalah nilai minimum lokal.
·
Lebih Banyak Masalah Maksimum
Minimum
Dalam menyelesaikan masalah praktis, terkadang kita harus mengerjakan tahap
demi tahap untuk mempermudah dalam menyelesaikan masalah maks-min terapan.
Tahapan yang sebaiknya kita terapkan antara lain:
·
Langkah 1 buat sebuah gambar untuk
masalah dan berikan varianel yang sesuai untuk besaran kunci.
·
Langkah 2 tuliskan untuk besaran Q yang harus
dimaksimumkan (diminimumkan) dalam bentuk variabel-variabel tersebut.
·
Langkah 3 gunakan kondisi-kondisi masalah untuk
menghilangkan semua kecuali satu dari variabel ini dan karenanya menyatakan Q
sebagai fungsi dari satu variabel, misalnya x.
·
Langkah 4 tentukan himpunan nilai-nilai x yang
mungkin, biasanya sebuah selang.
·
Langkah 5 tentukan titik kritis (titik ujung, titik
stasioner, titik singular). Paling sering, titik kritis kunci berupa titik
stasioner dimana dQ/dx = 0
·
Langkah 6 gunakan teori bab ini untuk memutuskan titik
–titik kritis mana yang memberikan maksimum (minimum).
Contoh soal:
Carilah nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x) = 3 – │x – 2│pada
interval [1,4]
Jawab:
Jika x ≤ 2 maka x – 2 ≤ 0, sehingga
f(x) = 3 – (2- x) = x + 1
Jika x ≥ 2 maka x – 2 ≥ 0, sehingga
f(x) = 3 – (x – 2) = 5 – x
Titik kritis dari f [1,4] terjadi hanya di x = 2, sebab nilai f’(x) adalah
1 dan -1 (dan tidak pernah 0) untuk setiap x dalam interval itu, sehingga f’(2)
tidak ada.
f(1) = 2
f(2) = 3 (maksimum mutlak)
f(4) = 1 (minimum mutlak)
·
Penerapan Ekonomi
Hal mendasar yang membedakan masalah
ekonomi dengan fisika adalah masalah-masalah diskrit. Seorang produsen sepatu
misalnya, tidak mungkin menjual 321,65 pasang sepatu. Oleh sebab itu,
permasalahan ekonomi cendeung menggunakan satuan-satuan diskrit. Jadi fungsi
yang digunakan pada umumnya didefinisikan hana untuk x = 0,1,2,3,….dst. dan
sebagai akibatnya, grafikna terdiri dari titik-titik diskrit.
Agar kita dapat mempergunakannya
dalam kalkulus, titik ini dihubungkan satu sama lain sehingga membentuk kurva,
sehingga fungsi-fungsi yag digunakan dapat terdiferensialkan. Hal ini
menggambarkan salah satu aspek dari model matematika yang hamper selalu
diperlukan, terutama dalam ilmu ekonomi. Untuk membuat model ini, diperlukan
penyederhanaan asumsi. Hal inilah yang menyebabkan jawaban yang kita peroleh
hanya merupakan pendekatan.
Contoh soal:
Seorang produsen sepatu lokal dalam
seminggu maksimum dapat menjual 300 pasang sepatu. Jika produsen itu dapat
membuat sebanya x pasang sepatu, dapat menetapkan biaya p(x) = 300 – 0,3x
(ribu) rupiah per pasangnya dan akan mempunyai total biaya perminggu C(x) =
5000 + 12x- (0,012)x2 (ribu rupiah).
Berapa tingkat produksi yang
memaksimumkan total laba perbulan?
Jawab:
R(x) = x p(x) = x (300 – 0,3x) =
300x – 0,3×2
Sehingga P(x) = 300x – 0,3x2
– (5000 + 12x- 0,012x2)
= -5000 + 288x – 0,298x2
P’(x) = 288 – 0,576x
Titik stasioner ; x = 500. Tetapi
500 tidak memenuhi, karena maksimum penjualan perminggu adalah 300 pasang
Titik ujung : 0 dan 300
Jadi, maksimumnya terjadi jika ia
mampu menjual 300 pasang, P(300) = 54.580 (ribu rupiah)
Keuntungan maksimum : Rp.54.580.000.
·
Limit di Ketakhinggaan, dan Limit
Tak Terhingga
Definisi
(Limit bila x → ∞). Andaikan f
terdefinisi pada [c, ∞) untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa lim f(x) = L
jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat
x → ∞
bilangan M yang berpadanan
sedemikian sehingga
x > M →
│f(x) – L │ < ε
Definisi
(Limit bila x → – ∞). Andaikan f
terdefinisi pada (– ∞, c] untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa lim f(x) =
L jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat
x → – ∞
bilangan M yang berpadanan
sedemikian sehingga
x < M →
│f(x) – L │ < ε
Definisi
(Limit-limit tak-terhingga). Kita
katakan bahwa lim f(x) = ∞ jika untuk tiap
x → c+
bilangan positif M, berpadanan suatu δ > 0 sedemikian sehingga
x → c+
bilangan positif M, berpadanan suatu δ > 0 sedemikian sehingga
0< x – c
< │f(x) – L │ < ε
·
Penggambaran Grafik Canggih
Untuk menelesaikan masalah pembuatan
grafik dan penyelesaian soal-soal terapan turunan, tekadang diperlukan beberapa
tahap yang sistematis untuk mempermudah dalam menyelesaikan masalah tersebut.
Langkah1 Buat analisis pendahuluan
sebagai berikut:
a. Periksa
daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah dibidanga
yang dikecualikan.
b. Uji
kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (apakah fungsi genap atau ganjil?)
c. Cari perpotongan
dengan sumbu-sumbu kordinat.
d. Gunakan
turunan pertama untuk mencari titik-titik kritis dan untuk mengetahui
tempat-tempat grafik naik dan turun.
e. Uji
titik-titk kritis untuk maksimum dan minimum lokal.
f. Gunakan
turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung keatas dan cekung
kebawah untuk melokasikan titik-titik balik.
g. Cari
Asimot-asimtot
Langkah 2
Gambarkan beberapa titik (termasuk titik-titik kritis dan titik balik
Langkah 3
sketsakan grafik
Contoh Soal:
Buatlah
grafik dari fungsi x4 – 4x3 + 10
F’(x) = 4x3
– 12x2 = 4x2 (x -3)
Titik
kritis: 0 dan 3
F’(x) > 0
pada (3, ∞)
F’(x) < 0
pada (-∞,0) dan (0, 3)
·
Teorema Nilai Rata-Rata
Teorema A
(Teorema
nilai rata-rata untuk turunan) Jika f kontinu pada selang tutup
[a,b] dan terdiferensiasikan pada titik-titik dalam dari (a,b) maka terdapat
paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dengan
(f (b) – f (a))/ b – a= f’ (c) atau, sama dengan
f (b)- f (a) = f’ (c) (b-a)
Teorema B
Jika F’ (x)
dan G’ (x) untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian rupa
sehingga F (x) = G (x) + C untuk semua x dalam (a,b)
Contoh soal:
Carilah
bilangan c yang memenuhi kesimpulan teorema rata-rata pada fungsi x2
+2x pada selang [-2,2]
Jawab:
f’(x) = 2x +
2
(f(2) –
f(-2))/2 – (-2) = 4/4=1
Selanjutnya,
kita selesaikan 2c + 2 = 1
2c + 1 = 0
c = -1/2
c = -1/2
berada pada selang [-1,2]
Referensi:
Purell,
Varberg. 2000. Kalkulus dan Geometri Analitis Edisi kelima. Penerbit
Erlangga: Jakarta