belajar turunan

Penggunaan Turunan

Turunan dapat diaplikasan ke dalam berbagai masalah dalam kehidupan sehari-hari, salah satunya adalah dengan cara memaksimumkan dan meminimmumkan suatu fungsi, misalnya ketika seorang pedagang yang ingin mendapatkan keuntungan besar, yaitu dengan menghitung kombinasi antara besar keuntungan dengan biaya pembelian dan penjualan. Selain itu, penggunaan turunan juga dapat diaplikasikan untuk mengetahui biaya produksi sekecil-kecilnya (minimum).

Berikut ini sedikit penjelasan mengenai Penggunaan Turunan yang telah dibagi-bagi ke dalam beberapa sub-bab, disertai contoh-contoh aplikasi soal.

·         Maksimum dan Minimum

Seperti yang telah dijelaskan diatas, salah satu penggunaan turunan yang sering dipakai adalah mengenai Maksimum dan Minimum. Untuk memahami masalah maksimum dan minimum, berikut ini adalah definisi atau batasan-batasan mengenai Maksimum dan Minimum.

Definisi Maksimum dan Minimum

Jika S, adalah daerah asal f, dan memuat titik c . Kita katakan bahwa :

• f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x)untuk semua x di S;
• f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c)≤ f(x)untuk semua x di S;
• f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum

Akan tetapi dalam prakteknya, terdapat beberapa masalah yang tidak dapat terpecahkan dengan definisi tersebut, diantaranya adalah apabila suatu fungsi ternyata tidak memiliki nilai maksimum atau minimum pada daerah asal tertentu. Seperti pada fungsi tak kontinu.

Oleh sebab itu, digunakan teorema berikut ini untuk menyelesaikan masalah tersebut.

Teorema A

(Teorema Eksistensi Maks-Min). Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan minimum.

Jadi, nilai maksimum dan minimum akan ditemukan pada fungsi f yang kontinu dan daerah asal f harus berupa selang tertutup.

Dalam teori maksimum dan minimum, terdapat titik-titik kunci atau yang biasa disebut sebagai titik kritis. Titik-titik tersebut tentunya sebarang titik dalam daerah asal suatu fungsi f, yaitu:

·         Titik-titik ujung, yaitu suatu titik yang merupakan batas-batas ujung kiri dan kanan selang tertutup. Beberapa selang memuat titik-titik ujung, namun beberapa tidak memuat titik ujung satupun. (Gb.1)

·         Titik stasioner, yaitu suatu titik c dalam suatu selang dimana f’(c) = 0. Nilai-nilai ekstrim seringkali terjadi pada titik-tik stasioner. (Gb.2)

·         Titil singular, yaitu suatu titik c dalam suatu selang dimana f’ tidak ada. Titik singular merupakan titik dimana grafik f mempunyai sudut tajam, garis singgung vertical, atau mungkin berupa lompatan. (Gb.3)

Teorema B

(Teorema Titik Kritis). Jika f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c, dan jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yaitu c harus berupa salah satu dari:

(i) Titik ujung dari f

(ii)Titik stasioner dari f(f’(c)=0)

(iii)Titik singular dari f(f’(c)=tidak ada)

Contoh Soal:

Sebuah SMA di cilegon berencana membangun sebuah pagar yang mengelilingi sekolah tersebut. Pada bagian pojok sekolah tersebut, terdapat tembok siku-siku sepanjang 20 meter dan lebar 10 meter yang tidak perlu dipagari. Jika sekolah tersebut hanya mempunyai 40 meter pagar, tentukan luas maksimum yang dapat dipagari. Dan dengan pagar sepanjang 40 meter tersebut, berapakah luas minimum kebun yang dapat dipagari?

Jawab:

Misal: Ukuran kebun adalah x x y seperti diperlihatkan pada gambar, maka panjang pagarnya adalah:

x+ y + ( x -10) + ( y – 20) meter.

Karena sekolah hanya mempunyai 40 meter pagar, maka

x+ y + ( x -10) + ( y – 20) = 40

x + y = 35 atau y = 35 – x

Ukuran terkecil dari x yang diperbolehkan adalah 10 meter, sehingga x ≥ 10

Ukuran terkecil dari y yang diperbolehkan adalah 20 meter, sehingga y ≥ 20.

35 – x ≥ 20

x ≥ 15

maka 10 ≤ x ≤ 15

Luas sekolah L = xy,

=>L (x) = x (35 – x), 10 ≤ x ≤ 15

L’ (x) =35 – 2x, 10 ≤ x ≤ 15

Titik Ujung [10,15]

Titik Stasioner L’(x) = 0

35 – 2x =0

2x = 35

x =35/2 (Tidak memenuhi syarat 10 ≤ x ≤ 15)

Pengujian :

L(10) = 10 (35 – 10) = 250 m²

L(15) = 15(35 – 15) = 300 m²

Maka luas sekolah maksimum yang dapat dipagari adalah 300 m² , dan luas minimum yang dapat dipagari adalah 250 m².

·         Kemonotonan dan Kecekungan

Pada bagian ini penggunaan turunan akan di titikberatkan untuk mengetahui sifat-sifat yang dimiliki suatu kurva antara lain kemonotonan, kecekungan, nilai ekstrim , titik belok dan asymtot. Hal ini ditekankan agar kita mudah dalam menganalisa dan menggambarkan grafik fungsi.

Definisi Fungsi Monoton

Grafik fungsi f(x) dikatakan naik pada selang I bila f (x1) > f (x2) untuk

x1> x2 ; x1, x2 ÎI .

Sedangkan f(x) dikatakan turun pada selang I bila

f (x1) < f (x2) untuk x1> x2 ; x1, x2 ÎI .

Fungsi naik atau turun disebut fungsi monoton.

Dalam menentukan selang fungsi monoton naik atau turun digunakan

pengertian berikut. Gradien dari suatu garis didefinisikan sebagai tangen sudut ( a )

yang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu X positif, m = tan a . Bila sudut

lancip (a < ½ p ) maka m > 0 dan m < 0 untuk a > ½ p. Karena gradien garis

singgung suatu kurva y = f(x) di titik ( x,y ) diberikan dengan m = f ‘ ( x ) dan selang

fungsi naik atau turun berturut-turut ditentukan dari nilai gradiennya, maka selang

atau selang dimana fungsi monoton diberikan berikut :

1. Fungsi f(x) naik bila f ‘ (x)> 0

2. Fungsi f(x) turun bila f ‘ (x)< 0

Definisi Kecekungan Fungsi

Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada selang I bila f ‘ (x)naik pada

selang I, sedang f(x) dikatakan cekung ke bawah bila f ‘ (x) turun pada selang I.

Oleh karena itu dapat disimpulkan :

1. Bila f “(x) > 0 , x ÎI maka f(x) cekung ke atas pada I dan

2. Bila f “(x) < 0 , x ÎI maka f(x) cekung ke bawah pada I.

Contoh Soal:

Tentukan selang fungsi naik dan fungsi turun dari fungsi f (x) = x4 + 2x3 + x2 - 5

Jawab :

Turunan pertama, f ‘(x) = 4x3 + 6x2 + 2x .

Untuk f ‘(x) = 4x3 + 6x2 + 2x > 0 , maka fungsi naik pada –1 < x < – ½ atau x > 0

dan fungsi turun pada x < -1 atau – ½ < x < 0.

Secara geometris, grafik fungsi y = f(x) cekung ke bawah di suatu titik bila kurva

terletak di bawah garis singgung kurva di titik tersebut. Sedangkan garfik fungsi y = f

( x ) cekung ke atas di suatu titik bila kurva terletak di atas garis singgung yang

melalui titik tersebut.

·         Maksimum dan Minimum Lokal

Definisi

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa:

(i) f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a, b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a, b) ∩ S;
(ii) f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a, b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a, b) ∩ S;
(iii) f(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal.

Teorema A

(Uji Turunan Pertama) Andaikan f kontinu pada selang buka (a,b) yang memuat titik kritis c.

·                     Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) <>f (c) adalah nilai maksimum lokal f.

·                     Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b) maka f (c) adalah nilai minimum lokal f.

·                     Jika f”(x) bertanda sama pada kedua pihak c maka f (c) bukan nilai ekstrim lokal f.

Teorema B

(Uji Turunan Kedua) Andaikan f’ dan f” ada pada setiap titik selang buka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0

·                     Jika f” (c) < f (c) adalah nilai maksimum lokal f.

·                     Jika f” (c) > 0, f (c) adalah nilai minimum lokal f.

Contoh Soal:

Carilah nilai ekstrim lokal dari fungsi f (x) = x³– 12x – 5 pada (-∞,∞) !

Jawab:

f”(x)=3x²– 12 = 3(x² – 4)

3(x – 2) (x + 2)

Titik Kritis: 2 dan -2

Pengujian terhadap titik -3, 0, dan 3

(x – 2) (x + 2) > 0 pada (-∞,-2) dan (2, ∞)

(x – 2) (x + 2) < 0 pada (-2, 2)

Menurut uji turunan, dapat disimpulkan bahwa f(-2) = 11 adalah nilai maksimum lokal dan f(2) = -21 adalah nilai minimum lokal.

·         Lebih Banyak Masalah Maksimum Minimum

Dalam menyelesaikan masalah praktis, terkadang kita harus mengerjakan tahap demi tahap untuk mempermudah dalam menyelesaikan masalah maks-min terapan. Tahapan yang sebaiknya kita terapkan antara lain:

·          Langkah 1 buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan varianel yang sesuai untuk besaran kunci.

·         Langkah 2 tuliskan untuk besaran Q yang harus dimaksimumkan (diminimumkan) dalam bentuk variabel-variabel tersebut.

·         Langkah 3 gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari variabel ini dan karenanya menyatakan Q sebagai fungsi dari satu variabel, misalnya x.

·         Langkah 4 tentukan himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya sebuah selang.

·         Langkah 5 tentukan titik kritis (titik ujung, titik stasioner, titik singular). Paling sering, titik kritis kunci berupa titik stasioner dimana dQ/dx = 0

·         Langkah 6 gunakan teori bab ini untuk memutuskan titik –titik kritis mana yang memberikan maksimum (minimum).

Contoh soal:

Carilah nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x) = 3 – │x – 2│pada interval [1,4]

Jawab:

Jika x ≤ 2 maka x – 2 ≤ 0, sehingga

f(x) = 3 – (2- x) = x + 1

Jika x ≥ 2 maka x – 2 ≥ 0, sehingga

f(x) = 3 – (x – 2) = 5 – x

Titik kritis dari f [1,4] terjadi hanya di x = 2, sebab nilai f’(x) adalah 1 dan -1 (dan tidak pernah 0) untuk setiap x dalam interval itu, sehingga f’(2) tidak ada.

f(1) = 2

f(2) = 3  (maksimum mutlak)

f(4) = 1  (minimum mutlak)

·         Penerapan Ekonomi

Hal mendasar yang membedakan masalah ekonomi dengan fisika adalah masalah-masalah diskrit. Seorang produsen sepatu misalnya, tidak mungkin menjual 321,65 pasang sepatu. Oleh sebab itu, permasalahan ekonomi cendeung menggunakan satuan-satuan diskrit. Jadi fungsi yang digunakan pada umumnya didefinisikan hana untuk x = 0,1,2,3,….dst. dan sebagai akibatnya, grafikna terdiri dari titik-titik diskrit.

Agar kita dapat mempergunakannya dalam kalkulus, titik ini dihubungkan satu sama lain sehingga membentuk kurva, sehingga fungsi-fungsi yag digunakan dapat terdiferensialkan. Hal ini menggambarkan salah satu aspek dari model matematika yang hamper selalu diperlukan, terutama dalam ilmu ekonomi. Untuk membuat model ini, diperlukan penyederhanaan asumsi. Hal inilah yang menyebabkan jawaban yang kita peroleh hanya merupakan pendekatan.

Contoh soal:

Seorang produsen sepatu lokal dalam seminggu maksimum dapat menjual 300 pasang sepatu. Jika produsen itu dapat membuat sebanya x pasang sepatu, dapat menetapkan biaya p(x) = 300 – 0,3x (ribu) rupiah per pasangnya dan akan mempunyai total biaya perminggu C(x) = 5000 + 12x- (0,012)x² (ribu rupiah).

Berapa tingkat produksi yang memaksimumkan total laba perbulan?

Jawab:

R(x) = x p(x) = x (300 – 0,3x) = 300x – 0,3×2

Sehingga P(x) = 300x – 0,3x² – (5000 + 12x- 0,012x²)

= -5000 + 288x – 0,298x²

P’(x) = 288 – 0,576x

Titik stasioner ; x = 500. Tetapi 500 tidak memenuhi, karena maksimum penjualan perminggu adalah 300 pasang

Titik ujung : 0 dan 300

Jadi, maksimumnya terjadi jika ia mampu menjual 300 pasang, P(300) = 54.580 (ribu rupiah)

Keuntungan maksimum : Rp.54.580.000.

·         Limit di Ketakhinggaan, dan Limit Tak Terhingga

Definisi

(Limit bila x → ∞). Andaikan f terdefinisi pada [c, ∞) untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat

x → ∞

bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga

x > M → │f(x) – L │ < ε

Definisi

(Limit bila x → – ∞). Andaikan f terdefinisi pada (– ∞, c] untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat

x → – ∞

bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga

x < M → │f(x) – L │ < ε

Definisi

(Limit-limit tak-terhingga). Kita katakan bahwa lim f(x) = ∞ jika untuk tiap
x → c+
bilangan positif M, berpadanan suatu δ > 0 sedemikian sehingga

0< x – c < │f(x) – L │ < ε

·         Penggambaran Grafik Canggih

Untuk menelesaikan masalah pembuatan grafik dan penyelesaian soal-soal terapan turunan, tekadang diperlukan beberapa tahap yang sistematis untuk mempermudah dalam menyelesaikan masalah tersebut.

Langkah1 Buat analisis pendahuluan sebagai berikut:

a. Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah dibidanga yang dikecualikan.

b. Uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (apakah fungsi genap atau ganjil?)

c. Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu kordinat.

d. Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titik kritis dan untuk mengetahui tempat-tempat grafik naik dan turun.

e. Uji titik-titk kritis untuk maksimum dan minimum lokal.

f. Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung keatas dan cekung kebawah untuk melokasikan titik-titik balik.

g. Cari Asimot-asimtot

Langkah 2 Gambarkan beberapa titik (termasuk titik-titik kritis dan titik balik

Langkah 3 sketsakan grafik

Contoh Soal:

Buatlah grafik dari fungsi x⁴ – 4x³ + 10

F’(x) = 4x³ – 12x² = 4x² (x -3)

Titik kritis: 0 dan 3

F’(x) > 0 pada (3, ∞)

F’(x) < 0 pada (-∞,0) dan (0, 3)

·         Teorema Nilai Rata-Rata

Teorema A

(Teorema nilai rata-rata untuk turunan) Jika f kontinu pada selang tutup [a,b] dan terdiferensiasikan pada titik-titik dalam dari (a,b) maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dengan

(f (b) – f (a))/ b – a= f’ (c) atau, sama dengan

f (b)- f (a) = f’ (c) (b-a)

Teorema B

Jika F’ (x) dan G’ (x) untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian rupa sehingga F (x) = G (x) + C untuk semua x dalam (a,b)

Contoh soal:

Carilah bilangan c yang memenuhi kesimpulan teorema rata-rata pada fungsi x² +2x pada selang [-2,2]

Jawab:

f’(x) = 2x + 2

(f(2) – f(-2))/2 – (-2) = 4/4=1

Selanjutnya, kita selesaikan 2c + 2 = 1

2c + 1 = 0

c = -1/2

c = -1/2 berada pada selang [-1,2]

Referensi:

Purell, Varberg. 2000. Kalkulus dan Geometri Analitis Edisi kelima. Penerbit Erlangga: Jakarta